关于线性代数
05 Dec 2014
记得，是大二上学期学的线性代数。那年期末考试，线代还考了90多分，感觉也就如此。上研究生后，看的文献越来越多，才发现好多牛人对于线性代数，尤其是矩阵的使用，驾轻就熟。当年自己学的那两把刷子，根本不够用，也不会用，在文献面前，常常知难而退。究其原因，还是因为不知道线性代数到底在干什么，比如线性变化这个概念，我始终不理解。一个东西，如果不能深刻地了解他，就不能熟练地应用他。
前两天，终于找到了顾生写的，被刘老师称为，颠覆你所学过的线性代数知识的一篇博文。不过，他写的太简洁了。下面，我借助于R语言画图，再图文并茂解释一遍。
举一个例子，说明什么是线性变换。有一个向量：
$(x,y)’$
还有一个矩阵：
\[m=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\]那么，矩阵和向量相乘，就是线性变换： \(\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc} a_{11} x + a_{12} y \\ a_{21} x + a_{22} y \end{array} \right)\)
单看数学公式，仍然不能体会什么是线性变换.
下面我们代入具体数据,让$(x,y)’$表示下图上的点：
而矩阵赋值为：
\[m=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)\]用上面的矩阵，对上图中的每一点$(x,y)’$进行线性变换，即$(2x,2y)’$,结果如下：
从上图看，这个线性变换，就相当于把原来的正方形放大，具体来说，x轴方向和y轴方向都伸长为原来的2倍。
如果矩阵赋值为：
\[m=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)\]用上面的矩阵，对每一点$(x,y)’$进行线性变换，即$(2x,3y)’$,结果如下：
这个线性变换，也是把单位正方形放大，不过，x轴和y轴两个方向上不同，x轴方向放大为2倍，而y轴方向放大为3倍。
如果矩阵赋值为：
\[m=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\]用上面的矩阵，对每一点$(x,y)’$进行线性变换，即$(2x+y,x+2y)’$,结果如下：
这种变换，与前面几个不同，这个是把单位正方形，伸缩变换为平行四边形。
矩阵m的行列式是什么？矩阵的行列式，就是上图中平行四边形的面积，不信你算算，是3.
再来考虑一特殊情况，如果矩阵赋值为：
\[m=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0.2 \\ 1 & 0.2 \end{array} \right)\]用上面的矩阵，对每一点$(x,y)’$进行线性变换，即$(2x+0.2y,x+0.22y)’$,结果如下：
可见，上面的线性变换，把单位正方形，压缩为很细长的平行四边形。进一步给矩阵赋值为：
\[m=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0.02 \\ 1 & 0.02 \end{array} \right)\]用上面的矩阵，对每一点$(x,y)’$进行线性变换，即$(2x+0.02y,x+0.02y)’$,结果如下：
当矩阵的第二列都是0时，单位正方形被压缩为一条线：
当一个变换矩阵，把单位正方形压缩为一条直线时，该变换是不可逆的，这也就是矩阵不可逆。意思是，不论采用何种变换，都不能使一条直线，再变成原来的正方形。这有点像一个正数乘以0，变成0，然后不论乘以多大的数，都不可能变为原来的正数。
我们也发现，直线的面积是0，所以上面矩阵行列式是0，而行列式是0的矩阵不可逆，与上述结论一致。