最近读刘未鹏的《数学的番外之美：平凡而又神奇的贝叶斯方法》，该用什么词来形容我的感受呢？是振聋发聩、醍醐灌顶？还是羞愧难当、无地自容？二者皆有吧！我导师是搞贝叶斯的，我也自诩为一个小小的贝叶斯“迷”，但是看了这篇文章，才知道，我不是贝叶斯“迷”，倒是一直在贝叶斯的森林里“迷”路。所谓理解的贝叶斯分析范式，如同只知道在统计学的一片天底下有这么一片贝叶斯的森林，却不知道，是什么样的土壤催生了这样一片森林，并且长得如此茂盛。下面，在这篇文章的基础上，我想谈谈对贝叶斯方法的理解。
第一次接触贝叶斯公式，是在《概率论与数理统计》（高等教育出版社，盛骤、谢式迁和潘承毅），这本书在讲贝叶斯公式时用了一个例子，印象特别深刻，现叙述如下：
某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：制造厂1提供元件的份额为0.15，次品率为0.02；制造厂2提供元件的份额为0.80，次品率为0.01；制造厂3提供元件的份额为0.05，次品率为0.03。设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的、且无区别的标志。现在仓库中随机取出一只元件，若已知取出的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。
问题的解答为：
设\(A\)表示“取到的是一只次品”，\(B_{i}\)(i=1, 2, 3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知，\(B_1,B_2,B_3\)是样本空间的一个划分，且有
\(P(B_{1})=0.15,P(B_{2})=0.80,P(B_3)=0.05\) \(P(A|B_1)=0.02,P(A|B_2)=0.01,P(A|B_3)=0.03\)
由全概率公式得：
\[P(A)=P(A \mid B_1)P(B_{1})+P(A \mid B_2)P(B_{2})+P(A \mid B_3)P(B_3)=0.0125\]由贝叶斯公式得：
\[P(B_1 \mid A)=\frac{P(A \mid B_1)P(B_{1})}{P(A)}=\frac{0.02\times 0.15}{0.0125}=0.24\] \[P(B_2 \mid A)=0.64,P(B_3 \mid A)=0.12\]以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。
以上的例子，包括贝叶斯同学当年的论文中的例子，对于理解贝叶斯公式是浅显易见的，不过是概率公式的逆推。不过，贝叶斯公式上升为贝叶斯分析方法的时候，以上的例子太简单了，脱离了现实。以前，每当我对贝叶斯迷惑的时候，我就回来看这个例子，结果是更加迷惑了。因为我发现，贝叶斯所解决的问题，与这个例子有个莫名其妙的差距。在这个例子中，我们把份额当做先验分布，这无可挑剔，并且必须这样做！然而，在其他一些问题中，我们根本就没有看到先验分布的影子，却生硬的把它拽过来，加入到我们的分析行列，这是为什么呢？
我来举一个昨天中午发生的例子，这个例子发生在我们宿舍。事情是这样的：我们班有个同学叫“苏瑞娟”，而昨天中午，偶然地，我们就谈论起她来了，我们并没有什么特殊的目的，在这当中，尹金友说，“哎，我高中同学也有个同学叫什么“瑞娟”来者，什么瑞娟来？是“苏瑞娟”还是“孙瑞娟”，我都忘了！应该是孙瑞娟吧！”
以上小尹同学，其实完成了一个典型的贝叶斯数据分析工作。情况是这样的，小尹拥有的“数据信息”是D：我有个同学叫什么瑞娟，而且姓有s的这个音。而小尹要估计的参数\(\theta\)是：我同学具体是什么名字。小尹同学首先借助的仍然是标准的极大似然估计方法，他在找什么样的姓会使\(P(D \mid \theta)\)最大呢？于是小尹想啊想，很快，小尹发现，有两个姓名“孙瑞娟”和“苏瑞娟”都很有可能让他现在产生这样的感觉：我有个同学叫什么瑞娟，而且有s开头。至此，小尹用的还是极大似然估计。与此同时，我们也发现了极大似然估计的一个明显的问题，即有可能估计结果有多个，这时候该怎么选择呢？
于是贝叶斯分析的标签“先验分布”粉墨登场。小尹觉得：没错，是有可能叫“苏瑞娟”，也有可能叫“孙瑞娟”，但是小尹又知道，天底下姓孙的人比姓苏的人要多了去了，所以小尹结合自己的经验，做出了判断：他的高中同学更有可能叫“孙瑞娟”！用公式来说，小尹不是比较\(P(D \mid \theta=孙瑞娟）\)和\(P(D \mid \theta=苏瑞娟）\)(其实也比较了，但他发现这两个一样大），而是进一步比较\(P(D \mid \theta=孙瑞娟）\times p(\theta=孙瑞娟)\)和\(P(D \mid \theta=苏瑞娟）\times p(\theta=苏瑞娟)\)，小尹发现前者大于后者，所以他做出了上述判断。
上面举得这个例子不是无的放矢，意在说明，为什么会用到贝叶斯分析的思路，或者更本质地，在极大似然估计的基础上，为什么要添加先验信息。从某种程度上说，极大似然估计是很完美的估计方法了，而刚刚我们也看到了，有时候，其估计也出现了一些问题，因此，这时候就借助了先验信息，形成了贝叶斯的分析范式。
基于当前数据，结合以往经验，对未来进行预测，这是人们探究未来的根本方式。怪不得拉普拉斯说，概率论只不过把人们的常识用概率公式表达出来。不过，真要进入数据分析实践当中，先验信息怎么确定，还是一个依赖统计人员品质的问题。有人，一拍脑瓜就弄出一个先验分布。这种情况下的先验分布，根本就没有基于以往的“经验”，这也是贝叶斯备受频率学派指责的要害。想成为一个真正的贝叶斯er,就必须认真地考察以往经验，设定合理的先验分布。
另外一点，贝叶斯的分析方式，不仅仅是矫正了传统似然估计下的结果，重要的是，它对参数解释与以往不同。似然估计，包括频率学派的矩估计等等，它们认为，被估计的参数，即使是未知的，也是一个确定的值。而贝叶斯们认为，参数本身就是随机的。利用贝叶斯分析，最后我们不能直接给出参数的确定估计，我们得到的仍然是一个参数的不确定性度量，只不过，这时候我们是用“后验分布”来描述的。统计学本身，是一个与不确定性打交道的学问，在统计学家看来，由于人们观察能力是有限的，所以没有东西是恒定不变的。从这种“统计哲学”看，似乎“贝叶斯统计”更加接近于统计的本质。
贝叶斯分析与频率学派并未你死我活，水火不容，二者还是各有优劣平分秋色。我认为，当数据充足的时候，我们大可以就用极大似然估计这样的传统经典的方法；而当数据较少的时候，为了确保估计的稳健，我们需要引入先验信息，用贝叶斯的分析方法进行模型构建。