正态分布方差推导

11 Sep 2014

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如果$X$满足正态分布$N(x\mid \mu, \sigma^2)$，那么$X$的方差为：

$$Var(X)=E[(x-\mu)^2]=\sigma^2$$

下面，我们证明上述结论。首先，正态分布密度函数是归一的：

$$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}\}dx=1$$

将$\sqrt{2\pi\sigma^2}$移到方程右边：

$$\int^{\infty}_{-\infty}exp\{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}\}dx=\sqrt{2\pi\sigma^2}$$

令$t=\sigma^2$,则方程变形为：

$$\int^{\infty}_{-\infty}exp\{-\frac{(x-u)^2}{2t}\}dx=\sqrt{2\pi t}$$

方程两边对$t$求导：

$$\int^{\infty}_{-\infty}exp\{-\frac{(x-u)^2}{2t}\}\frac{(x-u)^2}{2t^2}dx=\frac{1}{2}(2\pi)^{\frac{1}{2}}t^{-\frac{1}{2}}$$

进一步可以变形为：

$$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}exp\{-\frac{(x-u)^2}{2t}\}(x-u)^2dx=t$$

其中$t=\sigma^2$:

$$\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}\}(x-u)^2dx=\sigma^2$$

上式左边即为$E[(x-\mu)^2]$,因此也就证明了：

$$Var(X)=E[(x-\mu)^2]=\sigma^2$$

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