辛普森悖论的简单几何解释

辛普森悖论的简单几何解释
02 Apr 2013

看了一篇博客，作者在其中把simpson paradox 的基本原理用几何向量表示的一清二楚，对于simpson paradox 的理解很有帮助。

simpson paradox 的形式化定义如下：对于$a_{11},a_{12},b_{11},b_{12},a'_{11},a'_{12},b'_{11},b'_{12}$,均大于0，并且

\[\frac{a_{11}}{a_{12}} > \frac{a'_{11}}{a'_{12}}\] \[\frac{b_{11}}{b_{12}} > \frac{b'_{11}}{b'_{12}}\]

按照一般看法，应有

\[\frac{a_{11} + b_{11}}{a_{12} + b_{12}} > \frac{a'_{11} + b'_{11}}{a'_{12} + b'_{12}}\]

事实是，该结论并不严格成立。举一反例：

\[a_{11}=80,a_{12}=20,b_{11}=60,b_{12}=100\] \[a'_{11}=100,a'_{12}=40,b'_{11}=10,b'_{12}=40\]

有：

\[\frac{a_{11}}{a_{12}}=4 > \frac{a'_{11}}{a'_{12}}=2.5\] \[\frac{b_{11}}{b_{12}}=0.6 > \frac{b'_{11}}{b'_{12}}=0.25\]

然而：

\[\frac{a_{11} + b_{11}}{a_{12} + b_{12}} = 1.167 < \frac{a'_{11} + b'_{11}}{a'_{12} + b'_{12}} =1.375\]

更直观的解释可以由下图说明：

LearnR

$\frac{a_{11}}{a_{12}}=4 > \frac{a'_{11}}{a'_{12}}=2.5$ 对应于 $a$较$a’$斜率更大

$\frac{b_{11}}{b_{12}}=0.6 > \frac{b'_{11}}{b'_{12}}=0.25$ 对应于 $b$较$b’$斜率更大

然而结果却是，$c$的斜率小于$c’$的斜率。